已知向量OA=（22，0），O是坐标原点，动点M满足：|OM OA| |OM-OA|

题目内容：

已知向量OA=（22，0），O是坐标原点，动点M满足：|OM OA| |OM-OA|=6．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在直线l过D（0，2）与轨迹C交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

最佳答案：

（1）设B（-22，0）…（1分）

则|OM OA| |OM-OA|=|OM OB| |OM-OA|=|MB| |MA|=6

∴M的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆

由c=22，2a=6⇒a=3⇒b=1…（5分）

∴M的轨迹C的方程为x29 y²=1…（6分）

（2）设直线l的方程为y=kx 2（k≠0且k存在），…（7分）

由y=kx 2x29 y2=1得x² 9（kx 2）²=9，

即（1 9k²）x² 36kx 27=0…（8分）

∴△=（36k）²-4×27（1 9k²）＞0

即9k²-3＞0，∴k＜-33或k＞33（*）…（9分）

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

∴x₁ x₂=-36k1 9k2，x₁x₂=271 9k2…（10分）

∵以PQ为直径的圆过原点，

∴x₁x₂ y₁y₂=0，即x₁x₂ （kx₁ 2）（kx₂ 2）=0

∴（1 k²）x₁x₂ 2k（x₁ x₂） 4=0

即27(1 k2)1 9k2-72k21 9k2 4=0

解得k=±313满足（*）

∴满足条件的直线l存在，

且直线l的方程为：31x-3y 6=0或31x 3y-6=0…（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。