设A，B为圆x2 y2=1上两点，O为坐标原点（A，O，B不共线）（1）求证：OA

题目内容：

设A，B为圆x² y²=1上两点，O为坐标原点（A，O，B不共线）

（1）求证：OA OB与OA-OB垂直．

（2）当∠xOA=π4，∠xOB=θ，θ∈(-π4，π4)且OA•OB=35时，求sinθ的值．

最佳答案：

（1）证明：∵A，B为圆x² y²=1上两点，O为坐标原点

∴|OA|=|OB|=1，

又∵（OA OB）•（OA-OB）

=OA2-OB2

=|OA|2-|OB|2

=1-1=0

∴OA OB⊥OA-OB…（4分）

（2）∵∠xOA=π4，∠xOB=θ，θ∈(-π4，π4)

∴A(cosπ4，sinπ4)，B(cosθ，sinθ)

∴OA•OB=cosπ4cosθ sinπ4sinθ=sin(π4 θ)=35…（8分）

∵θ∈(-π4，π4)

∴θ π4∈(0，π2)

∴cos(θ π4)=45…（10分）

sinθ=sin(θ π4-π4)=sin(θ π4)cosπ4-cos(θ π4)sinπ4=-210

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。