四边形ABCD是梯形，AB•AD=0，AB与CD共线，A，B是两个定点，其坐标分别为

题目内容：

四边形ABCD是梯形，AB•AD=0，AB与CD共线，A，B是两个定点，其坐标分别为（-1，0），（1，0），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|．

（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；

（Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值．

最佳答案：

（Ⅰ）由AB•AD=0，AB与CD共线可知，

四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，

所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，

对称轴为x轴的抛物线．

设动点C的轨迹E的方程y²=2px（p＞0），

则p=|AB|=2

所以动点C的轨迹E的方程是y²=4x（x≠0，x≠1）…（3分）

（Ⅱ）设直线BC斜率为k，

由题意知，k存在且k≠0，

直线BC的方程y=k（x-1）

依题意y=k(x-1)y2=4x，

∴k²x²-（2k² 4）x k²=0，

设P（x₁，y₁），C（x₂，y₂）

则x1 x2=2k2 4k2，x₁x₂=1，

|PC|=(1 k2)[(x1 x2)2-4x1x2]=4(1 k2)k2

直线MN垂直于直线BC，

以-1k替代上式中的k，得|MN|=4（k² 1）…（7分）

∴S四边形CMPN=12|PC|•|BN| 12|PC|•|BM|

=12|PC|(|BN| |BM|)

=12|PC|•|MN|

=12•4(1 k2)k2•4(1 k2)

=8•k4 2k2 1k2=8(k2 1k2 2)

∵k2 1k2≥2∴8(k2 1k2 2)≥32

四边形CMPN面积的最小值等于32．…（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。