设x，y∈R，i，j、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若a=xi （y 2

题目内容：

设x，y∈R，i，j、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若a=xi （y 2）j，b=xi （y-2）j且a² b²=16．

（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；

（2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP=OA OB，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由．

最佳答案：

（1）∵a=xi （y 2）j，b=xi （y-2）j且a² b²=16，i，j为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，

∴x² （y 2）² x² （y-2）²=16

∴点M（x，y）的轨迹C的方程是x² y²=4；

（2）假设存在直线l，设方程为y=kx 3，代入x² y²=4可得（1 k²）x² 6kx 5=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁ x₂=-6k1 k2，x₁•x₂=51 k2

由题意，OA⊥OB，则x₁•x₂ y₁•y₂=0

∴x₁•x₂ k²x₁•x₂ 3k（x₁ x₂） 9=0

∴51 k2 k2•51 k2 3k•（-6k1 k2） 9=0

∴k=±142

∴存在l且l的方程为y=±142x 3．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。