已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x-y-22=0相切．（Ⅰ）求圆的标

题目内容：

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-y-22=0相切．

（Ⅰ）求圆的标准方程；

（Ⅱ）设点A（x₀，y₀）为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足OQ=mOA nON，（其中m n=1，m，n≠0，m为常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当m=32时，得到曲线C，问是否存在与l₁垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由．

最佳答案：

（Ⅰ）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则d=|-22|12 12=2…（2分）

所以圆C₁的方程为x² y²=4…（3分）

（Ⅱ）设动点Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x轴于N，N（x₀，0）

由题意，（x，y）=m（x₀，y₀） n（x₀，0），所以x=(m n)x0=x0y=my0…（5分）

即：x0=xy0=1my，将A(x，1my)代入x² y²=4，得x24 y24m2=1…（7分）

（Ⅲ）m=32时，曲线C方程为x24 y23=1，假设存在直线l与直线l₁：x-y-22=0垂直，

设直线l的方程为y=-x b…（8分）

设直线l与椭圆x24 y23=1交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）

联立得：y=-x b3x2 4y2=12，得7x²-8bx 4b²-12=0…（9分）

因为△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且x1 x2=8b7，x1x2=4b2-127…（10分）

∴OD•OB=x1x2 y1y2=x1x2 (b-x1)(b-x2)=2x1x2-b(x1 x2) b2

=8b2-247-8b27 b2=7b2-247…（12分）

因为∠BOD为钝角，所以7b2-247＜0且b≠0，

解得b2＜247且b≠0，满足b²＜7

∴-2427＜b＜2427且b≠0，

所以存在直线l满足题意…（14分）

答案解析：

|-2

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。