题目内容:
已知直线l:y=kx b,曲线M:y=|x2-2|.
(1)若k=1,直线与曲线恰有三个公共点,求实数b的值;
(2)若b=1,直线与曲线M的交点依次为A,B,C,D四点,求(AB CD)•(AD BC)的取值范围.
最佳答案:
(1)分两种情况:
①直线y=x b与抛物线y=-x2 2在(-2,2)内相切,即方程x2 x b-2=0在(-2,2)内有△=0,
由△=1-4b 8=0,得b=94,符合.
②直线y=x b过点(-2,0),即0=-2 b,得b=2.
综上知,b=94或b=2
(2)根据直线y=kx 1与曲线M有四个交点可得-22<k<22
由y=x2-2y=kx 1(|x|≥2),得x2-kx-3=0,
则有:|AD|=(k2 1)(k2 12),其中-22<k<22.
由y=-x2 2y=kx 1(|x|<2),得x2 kx-1=0,
则有:|BC|=(k2 1)(k2 4),其中-22<k<22.
所以(AB CD)•(AD BC)=(AD-BC)•(AD BC)=|AD|2-|BC|2
=(k2 1)(k2 12)-(k2 1)(k2 4)=8(k2 1),
∵-22<k<22,∴8(k2 1)∈[8,12),
∴(AB CD)•(AD BC)∈[8,12)
考点核心:
平面向量在几何、物理中的应用
1、向量在平面几何中的应用:
(1)证明线段相等平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义;
(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用到向量共线的条件;
(3)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件;
1、向量在三角函数中的应用:
(1)以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题;
(2)通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。
2、向量在物理学中的应用: 由于力、速度是向量,它们的分解与合成与向量的加法相类似,可以用向量方法来解决,力做的功就是向量中数量积的一种体现。
3、向量在解析几何中的应用:
(1)以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题;
(2)以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。