已知抛物线y2=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．（1）当FM

题目内容：

已知抛物线y²=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．

（1）当FM•OM=4时，求点M的坐标；

（2）求|OM||FM|的最大值．

最佳答案：

（1）抛物线y²=4x的焦点F的坐标是（1，0），设点M（x₀，y₀），其中x₀≥0．

因为FM=(x0-1，y0)，OM=(x0，y0)，所以，FM•OM=x0(x0-1) y20=x20 3x0=4，

解得x₀=1，或x₀=-4（舍）． 因为y₀²=4x₀，所以，y₀=±2，即点M的坐标为（1，2），（1，-2）．

（2）设点M（x，y），其中x≥0，|OM||FM|=x2 y2(x-1)2 y2=x2 4x(x 1)2=-3(x 1)2 2x 1 1．

设t=1x 1(0＜t≤1)，则|OM||FM|=-3t2 2t 1=-3(t-13)2 43．

因为0＜t≤1，所以，当t=13（即x=2）时，|OM||FM|取得最大值233．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。