过椭圆x2 4y2=4的右焦点F作直线l交椭圆于M、N两点，设|MN|=32；（1）

题目内容：

过椭圆x² 4y²=4的右焦点F作直线l交椭圆于M、N两点，设|MN|=32；

（1）求直线l的斜率；

（2）设M、N在椭圆右准线上的射影分别是M₁、N₁，求MN•M1N1的值．

最佳答案：

（1）设直线l的倾斜角为θ，显见θ≠90°，

k=tanθ，F(3，0)，

由x2 4y2=4y=k(x-3)，得(1 4k2)x2-83k2x 12k2-4=0，（2分）

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则x1 x2=83k21 4k2，x1x2=12k2-41 4k2，

∵|MN|=32=1 k2|x1-x2|=1 k2(83k21 4k2)2-4×12k2-41 4k2，

整理，得4k2 41 4k2=32，

解得k2=54，∴k=±52．（6分）

（2）MN•M1N1=|MN|•|M1N1|cos(90°-θ)

=|MN|•|MN|cos2(90°-θ)

=|MN|2sin2θ，（9分）

k2=tan2θ=54，

∴sin2θ=59，|MN|2=94，

∴MN•M1N1=94•59=54．（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。