1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010

题目内容：

1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…

请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．

最佳答案：

显然101是质数，假设有n个1的数为An，首先A₁是一个质数，

当n≥2时An均为合数，当n为偶数时，显然An能被101整除，

当n为奇数时，An×11=111…1（共2n个1），再将它乘以9得999…9（共2n个9），即10²ⁿ-1，即An=102n-199，

即An=(10n 1)(10n-1)99=[(10n 1)11]×[10n-19]，

设(10n 1)11=a，10n-19=b，显然b是整数，

而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除，

而10ⁿ 1的奇数位和为1，偶数位和也为1，所以能被11整除，

所以a也是一个不为1的整数，所以An不是质数，所以这串数中有101一个质数．

故答案为：

1．

答案解析：

102n-199

考点核心：

有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。