（本小题满分12分）已知平面向量a=，b=（1）证明ab；（2）若存在实数k，t，使

题目内容：

（本小题满分12分）

已知平面向量a=

，b=

（1）证明a

b；

（2）若存在实数k，t，使x=a

b，y=-ka tb，且x y，试求k，t的函数关系式 ;

（3）根据（2）的结论，讨论关于t的方程

的解的情况。

最佳答案：

（1）略

（2）k=

（3）

时，直线k=m与曲线 仅有一个交点，则方程有一解；

当

时，直线k=m与曲线 有两个交点，则方程有两解；

当

时，直线k=m与曲线 有三个交点，则方程有三个解。

答案解析：

解（1）

a·b =0， a b。

（2）

x y， x·y=0，即〔a b〕·(—ka tb)=0

整理得-ka² 〔t­-k

〕a·b t b ²=0 a·b=0，a ²=4，b ²=1。 上式化为-4k t =0， k=

(3)讨论方程

的解得情况，可以看做曲线 与直线k=m的交点个数。

于是

。

令

，解得 ，当 变化时， 、 的变化情况如下表：

１

0

－

０

＋

当

时， 有极大值，极大值为 。

当

时， 有极小值，极小值为 。

而

时，得 。所以 的图像大致如图所示

于是

时，直线k=m与曲线 仅有一个交点，则方程有一解；

当

时，直线k=m与曲线 有两个交点，则方程有两解；

当

时，直线k=m与曲线 有三个交点，则方程有三个解。

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。