（本小题满分12分）如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三

题目内容：

（本小题满分12分）

如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三 动点D,E,M满足="t," =" t" ,

="t" , t∈[0,1].

(Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围;

(Ⅱ) 求动点M的轨迹方程.

最佳答案：

(Ⅰ) k_DE∈[－1，1]．

(Ⅱ) 所求轨迹方程为: x²=4y， x∈[－2，2]

答案解析：

解法一: 如图， (Ⅰ)设D(x₀，y₀)，E(x_E，y_E)，M(x，y)．由=t，

= t， 知(x_D－2，y_D－1)=t(－2，－2)．

∴同理 ．

∴k_DE = = = 1－2t．

∵

t∈[0，1] ， ∴ k_DE∈[－1，1]．

(Ⅱ) ∵=t∴(x 2t－2，y 2t－1)=t(－2t 2t－2，2t－1 2t－1)

=t(－2，4t－2)=(－

2 t，4 t ²－2 t)．

∴， ∴y=， 即x²=4y．∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．

即所求轨迹方程为: x²=4y， x∈[－2，2]

解法二:

(Ⅰ)同上．

(Ⅱ) 如图， =" " =" " t =" " t(－) = (1－t) t，

=" " = t = t(－) =(1－t) t，

=" =" t= t(－)=(1－t) t

= (1－t²) 2(1－t)t t²．

设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(

－2，1)得

消去t得x²=4y

∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．

故所求轨迹方程为: x²=4y， x∈[－2，2]

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。