已知向量x=（3，-1），y=（12，32），若存在实数k和t，使得a=x （t2-

题目内容：

已知向量x=（3，-1），y=（12，32），若存在实数k和t，使得a=x （t²-3）y，b=-kx ty，且a⊥b．

（1）试求函数关系式k=f（t）；

（2）若t＞0，且不等式f（t）＞mt²-t恒成立，求实数m的取值范围．

最佳答案：

（1）∵x=（3，-1），y=（12，32），

∴|x|=3 1=2，|y|=14 34=1，x•y=0

∵a=x （t²-3）y，b=-kx ty，且a⊥b．

∴a•b=-kx2 t（t²-3）y2=0，即4k t（t²-3）=0，

∴t³-3t-4k=0，

可得k=f（t）=14（t³-3t），即为所求函数关系式；

（2）不等式f（t）＞mt²-t恒成立，

即14（t³-3t）＞mt²-t在（0， ∞）上恒成立

化简整理，得m＜14（t 1t）在（0， ∞）上恒成立

∵t 1t≥2t•1t=2，当且仅当t=1时，t 1t达到最小值2

∴m＜14×2=12，

即满足对任意的t＞0，不等式f（t）＞mt²-t恒成立的m的取值范围为（-∞，12）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。