已知向量OA=(λcosα，λsinα)（λ≠0），OB=(-sinβ，cosβ)，

题目内容：

已知向量OA=(λcosα，λsinα)（λ≠0），OB=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．

（Ⅰ）若α-β=π6且λ=1，求向量OA与OB的夹角；

（Ⅱ）若不等式|AB|≥2|OB|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

最佳答案：

（Ⅰ）当λ=1时，

OA=（cosα，sinα），OB=（-sinβ，cosβ）

∴|OA|=1，|OB|=1

设向量OA 与OB的夹角为θ，得OA•OB=|OA||OB|cosθ=cosθ

又∵OA•OB=cosα（-sinβ） （sinα）cosβ=sin（α-β）=sinπ6=12

∴cosθ=12

∵θ∈[0，π]

∴θ=π3

（Ⅱ）|AB|²=|OB-OA|²=|OA|²-2OA•OB |OB|²=λ²-2λsin（α-β） 1

不等式|AB|≥2|OB|可化为：λ²-2λsin（α-β） 1≥4，

即λ²-2λsin（α-β）-3≥0对任意实数α、β都成立

∵-1≤sin（α-β）≤1

∴λ2-2λ-3≥0λ2 2λ-3≥0

解得：λ≤-3或λ≥3

∴实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3， ∞）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。