已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2y-x）的对应关系用v=f（u）表示．（1）

题目内容：

已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2y-x）的对应关系用v=f（u）表示．

（1）证明对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f（ma nb）=mf（a） nf（b）成立；

（2）设a=（1，1），b=（1，0），求向量f（a）与f（b）的坐标；

（3）求使f（c）=（p，q）（p、q为常数）的向量c的坐标．

最佳答案：

（1）设a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），

∴ma nb=（mx₁ nx₂，my₁ ny₂），

f（ma nb）=（my₁ ny₂，2（my₁ ny₂）-（mx₁ nx₂））．

又mf（a）=m（y₁，2y₁-x₁），nf（b）=n（y₂，2y₂-x₂），

∴mf（a） nf（b）=（my₁ ny₂，（2y₁-x₁）m （2y₂-x₂）n）

=（my₁ ny₂，2（my₁ ny₂）-（mx₁ nx₂））．

∴f（ma nb）=mf（a） nf（b）成立．

（2）a=（1，1），∴f（a）=（1，2×1-1）=（1，1）；

b=（1，0），∴f（b）=（0，2×0-1）=（0，-1）．

（3）设c=（x，y），∴f（c）=（y，2y-x）．

∴（y，2y-x）=（p，q）．

∴y=p2y-x=q.

∴c=（2p-q，p）．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。