已知两点A（-2，0），B（2，0），动点P在y轴上的射影是H，且PA•PB=2PH

题目内容：

已知两点A（-2，0），B（2，0），动点P在y轴上的射影是H，且PA•PB=2PH2．

（1）求动点P的轨迹C的方程（6分）

（2）已知过点B的直线l交曲线C于x轴下方不同的两点M，N，求直线l的斜率的取值范围（6分）

最佳答案：

解（1）设P(x，y)，则PA=(-2-x，-y)，PB=(2-x，-y)，PH=（-x，0），

因为PA•PB=2PH2

所以得y²-x²=4

（2）①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，它与曲线C在x轴下方的部分只有一个交点(2，-22)

②若直线l的斜率为0，则直线l是x轴，它与曲线C无交点，所以，以上两种情形与题设不符．

③设直线l之方程为y=k（x-2）（k≠0）

联立y=k(x-2)y2-x2=4消去x得（k²-1）y²-4ky=8k²=0

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）

则M，N在x轴下方⇔k2-1≠016k2-4(k2-1)(-8k2)＞04kk2-1＜0-8k2k2-1＞0

解出22＜k＜1，

∴k∈(22，1)

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。