已知△ABC，AB=(cos3x2，-sin3x2)，AC=(cosx2，sinx2

题目内容：

已知△ABC，AB=(cos3x2，-sin3x2)，AC=(cosx2，sinx2)，其中x∈(0，π2)．

（Ⅰ）求|BC|和△ABC的边BC上的高h；

（Ⅱ）若函数f(x)=|BC|2 λ•h的最大值是5，求常数λ的值．

最佳答案：

（Ⅰ）∵AB=(cos3x2，-sin3x2)，AC=(cosx2，sinx2)，∴|AB|=|AC|=1

∴|BC|=(AC-AB)2=AC2-2AC•AB AB2=2-2(cos3x2cosx2 (-sin3x2)sinx2)

=2-2(cos3x2cosx2-sin3x2sinx2)=2-2cos2x=2-2(1-2sin2x)=4sin2x=2|sinx|

∵x∈(0，π2)，∴sinx∈（0，1），∴|BC|=2sinx．

∵|AB|=|AC|=1，△ABC是等腰三角形，

∴h=|AB|2-(12|BC|)2=cosx

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=|BC|2 λh=4sin2x λcosx=4（1-cos²x） λcosx=-4cos²x λcosx 4

令t=cosx，∵x∈(0，π2)，∴t∈（0，1）

则 f(x)=g(t)=-4t2 λt 4=-4(t-λ8)2 λ216 4

结合函数g（t）的图象可知

当λ8≤0或λ8≥1，即λ≤0或λ≥8时，函数g（t）无最值．

当0＜λ8＜1，即0＜λ＜8时，f（x）_max=g(t)max=g(λ8)=-4×(λ8)2 λ×λ8 4=5

解得λ=4或λ=-4（舍）

故λ=4时，函数f（x）的最大值为5．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。