已知A（a，a2）为抛物线y=x2上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于

题目内容：

已知A（a，a²）为抛物线y=x²上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且AP=2P

B．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点C(0，112)到动直线l的最短距离，并求此时l的方程．

最佳答案：

（1）设P（x，y）因为y_A′=2x|_x=a=2a，所以过点A的切线方程为y-a²=2a（x-a）．

令x=0，则y=-a²，B点坐标为（0，-a²），

又AP=2PB，AP=（x-a，y-a²），PB=（-x，-a²-y）

∴x-a=-2xy-a2=2(-a2-y)化简得，x=a3y=-a23消去a，得y=-3x²

∴点P的轨迹方程为y=-3x²

（2）设C到l的距离为d，则d=112 a24a2 1=14[4a2 1-234a2 1]

设4a2 1=t(t≥1)，则d=14(t-23•1t)，d为t的增函数，

∴dmin=14(1-23)=112

故C到l的最短距离为112，此时l的方程为y=0．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。