已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，(a-c)•(b-c)=0．若

题目内容：

已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，(a-c)•(b-c)=0．若对每一确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意b，m-n的最小值是（）

A．14

B．12

C．34

D．1

最佳答案：

法一：把 α放入平面直角坐标系，使 α起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则 α=（1，0）

设 β=（x₁，y₁），∵|α-β|=|β|，∴x1=12，∴β=（ 12，y₁）

设 γ=（x，y），则 α-γ=（1-x，-y），β-γ=（ 12-x，y₁-y）

∵（ α-γ）•（ β-γ）=0．∴（1-x）（ 12-x）-y（y₁-y）=0

化简得，x² y²-32x-y₁y 12=0，也即 (x-34)2 (y-y12)2=y12 142

点（x，y）可表示圆心在（ 34，y12），半径为 y12 142的圆上的点，

|γ|=x2 y2，∴|γ|最大m=(34)2 (y12)2 y12 142，最小值n=(34)2 (y12)2-y12 142．

∴m-n=(34)2 (y12)2 y12 142-（ (34)2 (y12)2-y12 142）=y12 14

当y₁²=0时，m-n有最小值为 12，

法二：∵|α|=1，

∴令 OA=α则A必在单位圆上，

又∵又向量 β满足 |α-β|=|β|，

∴令 OB=β则点B必在线段OA的中垂线上，

OC=γ．

又∵(α-γ)•(β-γ)=0

故C点在以线段AB为直径的圆M上，任取一点C，记 OC=γ．

故m-n就是圆M的直径|AB|

显然，当点B在线段OA的中点时，（m-n）取最小值 12

即（m-n）_min=12

故选B．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。