已知二次函数f（x）=x2 mx n对任意x∈R，都有f（-x）=f（2 x）成立，

题目内容：

已知二次函数f（x）=x² mx n对任意x∈R，都有f（-x）=f（2 x）成立，设向量a=（sinx，2），b=（2sinx，12），c=（cos2x，1），d=（1，2），

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集．

最佳答案：

（Ⅰ）设f（x）图象上的两点为A（-x，y₁）、B（2 x，y₂），

因为(-x) (2 x)2=1

f（-x）=f（2 x），所以y₁=y₂

由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，

∴x≥1时，f（x）是增函数；x≤1时，f（x）是减函数，

∴函数的单调增区间是[1， ∞）；单调减区间是（-∞，1]．

（Ⅱ）∵a•b=（sinx，2）•（2sinx，12）=2sin²x 1≥1，

c•d=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x 2≥1，

∵f（x）在是[1， ∞）上为增函数，

∴f（a•b）＞f（c•d）⇔f（2sin²x 1）＞f（cos2x 2）

⇔2sin²x 1＞cos2x 2⇔1-cos2x 1＞cos2x 2

⇔cos2x＜0⇔2kπ π2＜2x＜2kπ 3π2，k∈z

⇔kπ π4＜x＜kπ 3π4，k∈z

∵0≤x≤π，∴π4＜x＜3π4

综上所述，不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集是：{x|π4＜x＜3π4}．

答案解析：

(-x) (2 x)2

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。