已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，-3），点P的横坐标为1

题目内容：

已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，-3），点P的横坐标为14，且OP=λPB，点Q是边AB上一点，且OQ•AP=0．

（1）求实数λ的值与点P的坐标；

（2）求点Q的坐标；

（3）若R为线段OQ上的一个动点，试求RO•(RA RB)的取值范围．

最佳答案：

（1）设P（14，y），则OP=(14，y)，PB=(-8，-3-y)，由OP=λPB，得（14，y）=λ（-8，-3-y），解得λ=-74，y=-7，所以点P（14，-7）．

（2）设点Q（a，b），则OQ=(a，b)，又AP=(12，-16)，则由OQ•AP=0，得3a=4b①又点Q在边AB上，所以12-4=b 3a-6，即3a b-15=0②

联立①②，解得a=4，b=3，所以点Q（4，3）．

（3）因为R为线段OQ上的一个动点，故设R（4t，3t），且0≤t≤1，则RO=(-4t，-3t)，RA=(2-4t，9-3t)，RB=(6-4t，-3-3t)，RA RB=(8-8t，6-6t)，则RO•(RA RB)=-4t(8-8t)-3t(6-6t)=50t2-50t=50(t-12)2-252(0≤t≤1)，故RO•(RA RB)的取值范围为[-252，0]．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。