已知向量a=(3，-1)，b=(12，32)．（1）求证：a⊥b；（2）是否存在最小

题目内容：

已知向量a=(3，-1)，b=(12，32)．

（1）求证：a⊥b；

（2）是否存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使x=a (t 2s)b与y=-ka (1t 1s)b垂直？如果存在，求出k的最小值；如果不存在，请说明理由．

最佳答案：

（1）∵向量a=(3，-1)，b=(12，32)，

∴a•b=3×12 (-1)×32=0，

∴a⊥b．

（2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使x=a (t 2s)b与y=-ka (1t 1s)b垂直．

∵向量a=(3，-1)，b=(12，32)，

∴a•b=0，

∵x=a (t 2s)b，y=-ka (1t 1s)b，

∴x•y=[a (t 2s)b]•[-ka (1t 1s)b]

=-ka2-k（t 2s）a•b （1t 1s）a•b （t 2s）（1t 1s）•b2

=-4k 1 2st ts 2=0，

∴k=3 2st ts4

≥3 22st•ts4

=3 224．

∴k的最小值是3 224．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。