（文科做）已知圆O：x2 y2=4，，点M（1，a）且a＞0．（I）若过点M有且只有

题目内容：

（文科做）已知圆O：x² y²=4，，点M（1，a）且a＞0．

（I）若过点M有且只有一条直线/与圆O相切，求a的值及直线l的斜率，

（II）若a=2，AC、BD是过点M的两条弦．

①当弦AC最短、弦BD最长时，求四边形ABCD的面积；

②若OP=OA OC，求动点P的轨迹方程．

最佳答案：

（I）由题意，过M有且仅有一条直线l与圆O相切可知，点M（1，a）在圆上

∴1 a²=4

∵a＞0∴a=3

则此时所做的切线方程为y-3=k（x-1）即kx-y 3-k=0

由直线与圆相切可知，圆心（0，0）到直线的距离d=|3-k|1 k2=1

∴k=33

（II）当a=2时，M（1，2）在圆x² y²=4内

①由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦

此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=3，

从而可得，AC=2

S=12AC•BD=12×2×4=4

②∵|OA|=|OC|=2，OP=OA OC

∴以OA，OB为邻边做平行四边形OAPC，则可得OAPC为菱形，

由菱形的性质可知AC，OP互相垂直平分，且M在AC上

由垂直平分线的性质可知，MP=MO=3

P是以M（1，2）为圆心，以3为半径的圆，其方程为(x-1)2 (y-2)2=3

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。