已知向量a=(cosx，sinx)，b=(2，2)，若a•b=85，且π4＜x＜π2

题目内容：

已知向量a=(cosx，sinx)，b=(2，2)，若a•b=85，且π4＜x＜π2．

（1）求cos(x-π4)和tan(x-π4)的值；

（2）求sin2x(1 tanx)1-tanx的值．

最佳答案：

因为：a•b=2cosx 2sinx=2sin（x π4）

∴2sin（x π4）=85⇒sin（x π4）=45⇒cos（π4-x）=45．

（1）∴cos（x-π4）=45．

∵π4＜x＜π2⇒0＜x-π4＜π4⇒sin（x-π4）=1-cos2(x-π4)=35．

∴tan（x-π4）=sin(x-π4)cos(x-π4)=3545=34．

（2）∵sin2x(1 tanx)1-tanx

=sin2x•1 tanx1-tanx

=cos（π2-2x）•tan（x π4）

=cos（2x-π2）•cot（π4-x）

=-cos2（x-π4）•1tan(x-π4)

=-[2cos²（x-π4）-1]×134

=-[2×(45)2-1]×43

=-2875．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。