已知椭圆x2a2 y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上

题目内容：

已知椭圆x2a2 y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若PQ=2F1O，F1Q=λ(F1P|F1P| F1O|F1O|)(λ＞0)则椭圆的离心率为______．

最佳答案：

解法一：∵椭圆x2a2 y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，PQ=2F1O，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为a2c-2c，

又F1Q=λ(F1P|F1P| F1O|F1O|)(λ＞0)知Q点在∠PF₁O角平分线上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O

由于PQ∥.F₁F₂，故四边形PF₁F₂Q是一个平行四边形，结合对角线是角平分线知，四边形PF₁F₂Q是菱形，可得P_F1=2c

由此得PF₂=2a-2c

由椭圆的第二定义知e=PF2PQ=2a-2c2c，解得e=5-12

故答案为5-12

解法二：∵椭圆x2a2 y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，PQ=2F1O，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为a2c-2c，

又F1Q=λ(F1P|F1P| F1O|F1O|)(λ＞0)知Q点在∠PF₁O角平分线上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O

令P（a2c-2c，y），Q（a2c，y），故kPF1=ya2c-2c c=ya2c-c，kQF1=ya2c c

又tan∠PF₁O=tan2∠QF₁O=2tan∠QF1O1-tan2∠QF1O，即ya2c-c=2×ya2c c1-(ya2c c)2①

又由x2a2 y2b2=1及a²=b² c²，P（a2c-2c，y），解得y2=6a2-9c2-a4c2 4c4a2代入①整理得

e=5-12

故答案为e=5-12

答案解析：

x2a2

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。