（附加题）已知圆O：x2 y2=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使∠B

题目内容：

（附加题）已知圆O：x² y²=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使∠BAC=π4，平面上点G满足GA GB GC=0，求点G的轨迹方程．

最佳答案：

法1：由GA GB GC=0，知点G即△ABC的重心，

圆O：x² y²=4与x轴正半轴交于点A，

易知A（2，0）因为B、C在圆x² y²=4上，故设点B（2cosθ，2sinθ）．

由∠BAC=π4，则∠B0C=π2，

则点C的坐标为(2cos(θ π2)，2sin(θ π2))，

由重心坐标公式得轨迹的参数方程：x=13(2 2cosθ 2cos(θ π2))y=13(2sinθ 2sin(θ π2))（θ为参数）

即x=13(2 2cosθ-2sinθ)y=13(2sinθ 2cosθ)

化为普通方程是：(x-23)2 y2=89，轨迹为以点(23，0)为圆心，223为半径的圆．

法2：由∠BAC=π4，则∠B0C=π2，设BC的中点为P，易求得OP=2．

故点P的轨迹方程为x² y²=2，

连接AP，因为点G为△ABC的重心，所以点G为AP的一个三等分点．

由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为：(x-23)2 y2=89

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。