已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，5），离心率为66，左、右焦点

题目内容：

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，5），离心率为66，左、右焦点分别为F₁和F₂．

（1）求椭圆方程；

（2）点M在椭圆上，求△MF₁F₂面积的最大值；

（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使PF1•PF2=0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

最佳答案：

（1）由题意设椭圆标准方程为x2a2 y2b2=1．

由已知得，b=5，e=ca=66．（2分）

则e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2，∴1-5a2=16．解得a²=6（4分）

∴所求椭圆方程为x26 y25=1（5分）

（2）令M（x₁，y₁），则S△MF1F2=12|F1F2|•|y1|=12•2•|y1|（7分）

∵点M在椭圆上，∴-5≤y1≤5，故|y₁|的最大值为5（8分）

∴当y1=±5时，S△MF1F2的最大值为5．（9分）

（3）假设存在一点P，使PF1•PF2=0，

∵PF1≠0，PF2≠0，∴PF1⊥PF2，（10分）

∴△PF₁F₂为直角三角形，∴|PF₁|² |PF₂|²=|F₁F₂|²=4 ①（11分）

又∵|PF1| |PF2|=2a=26②（12分）

∴②²-①，得2|PF₁|•|PF₂|=20，∴12|PF1|•|PF2|=5，（13分）

即S△PF1F2=5，由（1）得S△PF1F2最大值为5，故矛盾，

∴不存在一点P，使PF1•PF2=0．（14分）

答案解析：

x2a2

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。