已知平面上两定点M（0，-2）、N（0，2），P为一动点，满足.MP-.MN=|.P

题目内容：

已知平面上两定点M（0，-2）、N（0，2），P为一动点，满足.MP-.MN=|.PN|-|.MN|．

（I）求动点P的轨迹C的方程；

（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且.AN=λ.N

B．分别以A、B为切点作轨迹C的切

线，设其交点Q，证明.NQ-.AB为定值．

最佳答案：

（I）设P（x，y）．

由已知 MP=（x，y 2），MN=（0，4），PN=（-x，2-y），

MP•MN=4y 8．

|PN|•|MN|=4x² （y-2）²（3分）

∵MP•MN=|PN|•|MN|

∴4y 8=4x² （y-2）²整理，得x²=8y

即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x²=8y．（6分）

（II）由已知N（0，2）．

即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）-x1=λx22-y1=λ（y2-2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由AN=λNB

即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2），

∴-x₁=λx₂…（1），

2-y₁=λ（y₂-2）…（2）

将（1）式两边平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λy₂（3分）

解得 y₁=2λ，y₂=2λ，

且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）

抛物线方程为 y=18x₂，求导得y′=14x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y=14x₁（x-x₁） y₁，y=14x²（x-x₂） y₂，

即y=14x₁x-18x₁²，y=14x₂x-18x₂²

解出两条切线的交点Q的坐标为 （x1 x22，x1x28）=（x1 x22，-2）（11分）

所以 NQ•AB=（x1 x22，-4）•（x₂-x₁，y₁-y₂）

=12（x₂²-x₁²）-4（18x₂²-18x₁²）=0

所以 .NQ•.AB为定值，其值为0．（13分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。