设a，b是两个互相垂直的单位向量，已知向量m=ka b，n=a kb，(k＞0)且向

题目内容：

设a，b是两个互相垂直的单位向量，已知向量m=ka b，n=a kb，(k＞0)且向量m与n夹角θ的余弦值为f(k)，

（1）求f（k）的表达式．

（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．

（3）在（1）的条件下解关于k的不等式：f[f(k)]＜-3ak2 (a2 4)kk4 6k2 1，(a∈R)．

最佳答案：

（1）∵a⊥b∴a•b=0，

∵|a|=|b|=1

∴m•n=(ka b)(a kb)=ka2 (1 k2)a•b kb2=2k

∵|m|2=(ka b)2=1 k2，同理可得|n|2=1 k2

∴f（k）=cosθ=m•n|m||n|=2k1 k2（k＞0）…（4分）

（2）因为1 2k²≥2k当且仅当k=1时等号成立

所以f（k）∈（0，1]，

当θ=60°时，cosθ=2k1 k2=12

∴k=2±3（8分）

（3）由（1）可得f[f（k）]=f（2k1 k2）=2×2k1 k21 (2k1 k2)2=4k(1 k2)1 6k2 k4＜-3ak2 (4 a2)k1 6k2 k4

⇔4k³ 4k＜-3ak² （4 a²）k

⇔k（4k² 3ak-a²）＜0

⇔4k(k a)(k-a4)＜0，

∵k＞0

当a＞0时，解可得0＜k＜a4

当a=0时，解为k＜0且k＞0，此时k不存在

当a＜0时，解为0＜k＜-a

综上所述：当a＞0时，解集为{k|0＜k＜a4}；

当a=0时，解集为∅

当a＜0时，解集为{k|0＜k＜-a}（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。