已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，其左、右焦点分别是F

题目内容：

已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=102，PF1•PF2=12（点O为坐标原点）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使OM ON=λOA，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

最佳答案：

（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），

由|OP|=102得x02 y02=52，

由PF1•PF2=12，得（-c-x₀，-y₀）•(c-x0，-y0)=12，

即x02 y02-c2=12，

所以c=2，又因为ca=63，所以a²=3，b²=1，

椭圆C的方程为：x23 y2=1；

（2）由y=xx23 y2=1得A(32，32)，

设直线MN的方程为y=kx m，联立方程组y=kx mx23 y2=1

消去y得：（1 3k²）x² 6kmx 3m²-3=0，

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则x1 x2=-6km1 3k2，x1x2=3m2-31 3k2，

∴y1 y2=k(x1 x2) 2m=2m1 3k2，

∵OM ON=λOA，∴x1 x2=32λ，y1 y2=32λ，

得kMN=-13，m=33λ，于是x1 x2=3m2，x1x2=9m2-94，

∴|MN|=1 (-13)2|x1-x2|=103(x1 x2)2-4x1x2=104-3m22，

∵λ＞0，O（0，0）到直线MN的距离为d=310m10，

∴S△OMN=12|MN|d=104-3m24•310m10

=3•(4-3m2)•3m24≤32，

当m=63，即λ=2时等号成立，S_△OMN的最大值为32．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。