已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的

题目内容：

已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y 2=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足OA OB=top（O为坐标原点），当|PA-PB|＜253时，求实数t取值范围．

最佳答案：

（Ⅰ）由题意知e=ca=22，所以e2=c2a2=a2-b2a2=12．

即a²=2b²．（2分）

又因为b=21 1=1，所以a²=2，S△OBC•OA S△OCA•OB S△OBA•OC=0．

故椭圆C的方程为x22 y2=1．（4分）

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），

由y=k(x-2)x22 y2=1.得（1 2k²）x²-8k²x 8k²-2=0．△=64k⁴-4（2k² 1）（8k²-2）＞0，k2＜12．（6分）

x1 x2=8k21 2k2，x1•x2=8k2-21 2k2∵OA OB=tOP∴（x₁ x₂，y₁ y₂）=t（x，y），

∴x=x1 x2t=8k2t(1 2k2)，y=yy y2t=1t[k(x1 x2)-4k]=-4kt(1 2k2)

∵点P在椭圆上，∴(8k2)2t2(1 2k2)2 2(-4k)2t2(1 2k2)2=2，∴16k²=t²（1 2k²）．（8分）

∵|PA-PB|＜253，∴1 k2|x1-x2|＜253，∴(1 k2)[(x1 x2)2-4x1•x2]＜209

∴(1 k2)[64k4(1 2k2)2-4•8k2-21 2k2]＜209，∴（4k²-1）（14k² 13）＞0，∴k2＞14．（10分）

∴14＜k2＜12，∵16k²=t²（1 2k²），∴t2=16k21 2k2=8-81 2k2，

∴-2＜t＜-263或263＜t＜2，∴实数t取值范围为(-2，-263)∪(263，2)．（12分）

答案解析：

ca

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。