已知定点A（-1，0）、B（1，0），动点M满足：AM•BM等于点M到点C（0，1）

题目内容：

已知定点A（-1，0）、B（1，0），动点M满足：AM•BM等于点M到点C（0，1）距离平方的k倍．

（Ⅰ）试求动点M的轨迹方程，并说明方程所表示的曲线；

（Ⅱ）当k=2时，求|AM 2BM|的最大值和最小值．

最佳答案：

（I）设M（x，y），则AM=（x 1，y），BM=（x-1，y）

由题意可得，AM•BM=kMC2

即（x 1，y）•（x-1，y）=k[x² （y-1）²]

整理可得，（1-k）））x² （1-k）y² 2ky=1 k即为所求的动点轨迹方程

①k=1时，方程化为y=1，表示过（0，1）且与x轴平行的直线

②当k≠1时，方程可化为x2 (y k1-k)2=1(1-k)2表示以（0，kk-1）为圆心，以|11-k|为半径的圆

（II）当k=2时，方程可化为x² （y-2）²=1

|AM 2BM|=(3x-1)2 9y2=9x2-6x 1 9y2

=9(x2 y2)-6x 1=9(4y-3)-6x 1

=36y-6x-26

设x=cosθy=2 sinθ

则|AM 2BM|=46 36sinθ-6cosθ=46 637sin(θ α)

sinα=-137cosα=637

∴37-3=46-637≤|AM 2BM|≤46 637=37 3

∴求|AM 2BM|的最大值为3 37，最小值37-3

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。