已知：△ABC为直角三角形，∠C为直角，A（0，-8），顶点C在x轴上运动，M在y轴

题目内容：

已知：△ABC为直角三角形，∠C为直角，A（0，-8），顶点C在x轴上运动，M在y轴上，.AM=12（.AB .AC），设B的运动轨迹为曲线E．

（1）求B的运动轨迹曲线E的方程；

（2）过点P（2，4）的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N，且满足.QP=.PN，求直线l的方程．

最佳答案：

（1）由AM=12(AB AC)可得M为BC的中点（2分）

设B（x，y），则M（0，12y），C（-x，0）（4分）

∵C为直角，故CB•CA=0

∵CB=(2x，y)，CA=(x，-8)

∴2x²-8y=0即x²=4y（5分）

B的轨迹曲线E的方程为x²=4y（（x≠0）6分）

（2）∵QP=PN

P是QN的中点

设Q（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段QN的 中点P（2，4）

设L：y-4=k（x-2）

方法一：则x12=4y1，x22=4y2

两式相减可得，4（y₁-y₂）=（x₁-x₂）（x₁ x₂）（8分）

∴直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=x1 x24=1（11分）

直线l的方程为y-4=x-2即x-y 2=0

方法二：联立直线与曲线方程y-4=k(x-2)x2=4x可得x²-4kx 8k-16=0（*）

△=16（k²-2k 4）＞0，显然方程（*）有2个不相等的实数根（8分）

∴x₁ x₂=4k=4

∴k=1

∴直线L的方程为x-y 2=0（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。