已知点A（λcosα，λsinα）（λ≠0），B(12，-32)，O为坐标原点，（1

题目内容：

已知点A（λcosα，λsinα）（λ≠0），B(12，-32)，O为坐标原点，

（1）若α=π6时，不等式|AB|≥2|OB|有解，求实数λ的取值范围；

（2）若|AB|≥2|OB|对任意实数α恒成立，求实数λ的取值范围．

最佳答案：

（1）|AB|≥2|OB|有解，即(λcosα-12)2 (λsinα 32)2≥4（2分）

等价于：λ2 1 2λsin(α-π6)≥4，代入α=π6得：λ²≥3（4分）

即λ∈(-∞，-3]∪[3， ∞)（6分）

（2）|AB|≥2|OB|对任意的实数α恒成立，即(λcosα-12)2 (λsinα 32)2≥4对任意的实数α恒成立，即λ2 1 2λsin(α-π6)≥4对任意的实数α恒成立（8分）

所以λ＞0λ2-2λ 1≥4或λ＜0λ2 2λ 1≥4（12分）

解得：λ≥3或λ≤-3．故所求实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3， ∞）．（14分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。