（本小题满分14分）如图5，是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．（1）

题目内容：

（本小题满分14分）

如图5， 是△ 的重心， 、 分别是边 、 上的动点，且 、 、 三点共线．（1）设 ，将 用 、 、 表示；

（2）设

， ，证明： 是定值；

（3）记△

与△ 的面积分别为 、 ．求 的取值范围．

最佳答案：

(Ⅰ)

(Ⅱ) （Ⅲ）

答案解析：

（1）

．…2分

（2）一方面，由（1），得

；

①

另一方面，∵

是△ 的重心，

∴

②…4分

而

、 不共线，∴由①、②，得 …6分

解之，得

，∴ （定值）．…………………8分

（3）

．……………………10分

由点

、 的定义知 ， ，

且

时， ； 时， ．此时，均有 ． 时， ．此时，均有 ．

以下证明：

．

（法一）由（2）知

，

∵

，∴ ．…………………………12分

∵

，∴ ．

∴

的取值范围 ．………………………………14分

（法二）

，

令

，则 ，其中 ．

利用导数，容易得到，关于

的函数 在闭区间 上单调递减，在闭区间 上单调递增．………………………………12分

∴

时， ．

而

或 时，均有 ．

∴

的取值范围 ．…………………………14分

注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。