四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边

题目内容：

四边形ABCD中，

＝ａ， ＝ｂ， ＝с， ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?

最佳答案：

四边形ABCD是矩形

答案解析：

【错解分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：

（1）在四边形中，

， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；

（2）由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。

【正解】四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：

由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)^２＝（с＋ｄ）²

即｜ａ｜^２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜^２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，

∴｜ａ｜^２＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｄ｜^２①

同理有｜ａ｜^２＋｜ｄ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｂ｜^２②

由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜

即四边形ABCD两组对边分别相等

∴四边形ABCD是平行四边形

另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，

代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。

综上所述，四边形ABCD是矩形。

【点评】向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。