已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2

题目内容：

已知向量a＝

， b＝ ，且 x∈ .

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－

，求正实数 λ的值．

最佳答案：

（1）|a＋b|＝2cosx（2）λ＝

答案解析：

(1)a·b＝cos

x·cos －sin x·sin ＝cos 2 x.

∵a＋b＝

，

∴|a＋b|²＝

²＋ ²

＝2＋2

＝2＋2cos 2 x＝4cos ² x.

∵x∈

，∴cos x≥0.因此| a＋ b|＝2cos x.

(2)由(1)知f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos²x－4λcos x－1，

∴f(x)＝2(cos x－λ)²－1－2λ²，cos x∈[0,1]．

①当0＜λ≤1时，当cos x＝λ时，

f(x)有最小值－1－2λ²＝－

，解得 λ＝ .

②当λ＞1时，当cos x＝1时，f(x)有最小值1－4λ＝－

，

λ＝

(舍去)，综上可得 λ＝

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。