平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α

题目内容：

平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足

=α β ,其中α,β∈R且α β=1,则点C的轨迹方程为()

A．(x-1)² (y-2)²=5

B．3x 2y-11=0

C．2x-y=0

D．x 2y-5=0

最佳答案：

D

答案解析：

【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y的关系式,消去α,β即可得解.

解:设C(x,y),则

=(x,y), =(3,1), =(-1,3).由 =α β ,得(x,y)=(3α,α) (-β,3β)=(3α-β,α 3β).

于是

由③得β=1-α代入①②,消去β得

再消去α得x 2y=5,即x 2y-5=0.

【一题多解】由平面向量共线定理,得当

=α β ,α β=1时,A,B,C三点共线.

因此,点C的轨迹为直线AB,

由两点式求直线方程得

= ,

即x 2y-5=0.

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。