已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足=λ μ,且λ

题目内容：

已知△ABC的三边长|AB|=

,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足 =λ μ ,且λμ= .

(1)求|

|最小值,并指出此时 与 , 的夹角;

(2)是否存在两定点F₁,F₂使||

|-| ||恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由.

最佳答案：

(1)

或 (2) 存在 k=2

答案解析：

解：

（1）由余弦定理知:

cos∠ACB=

= ⇒∠ACB= .

因为|

| ²= =(λ μ ) ²

=λ² 16μ² 2λμ

·

=λ² 16μ² 1≥3.

所以|

|≥ ,当且仅当λ=±1时,“=”成立.

故|

|的最小值是 ,

此时<

, >=< , >= 或 .

(2)以C为坐标原点,∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A

,B(2 ,-2),

设动点M(x,y),

因为

=λ μ ,

所以

⇒

再由λμ=

知 -y ²=1,

所以,动点M的轨迹是以F₁(-2,0),F₂(2,0)为焦点,实轴长为2

的双曲线,

即存在两定点F₁(-2,0),F₂(2,0)使||

|-| ||恒为常数2 ,即k=2 .

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。