椭圆面积怎么算

椭圆面积怎么算

面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a，b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长)，或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A，B分别是椭圆的长轴，短轴的长)。

c1c2clone可以依据关于圆的有关公式，类比出关于椭圆公式。

导数方法

设椭圆x²/a²+y²/b²=1

取第一象限内面积，有y²=b²-b²/a²*x²

即y=√（b²-b²/a²*x²)

=b/a*√(a²-x²)

由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据(af(x))'=a*f'(x)，且x=a时圆面积为a²π/4

可得 当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a²*π=abπ/4

即S=abπ。此方法比较容易理解。

椭圆定义

椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的）

1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离，一般称为2a）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；

2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的。

几何关系

点与椭圆

点M（x0，y0）椭圆x²/a²+y²/b²=1；

点在圆内：x0²/a²+y0²/b²<1；

点在圆上：x0²/a²+y0²/b²=1；

点在圆外：x0²/a²+y0²/b²>1；

跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。

直线与椭圆

y=kx+m①

x²/a+y²/b²=1②

由①②可推出x²/a²+(kx+m)²/b²=1

相切△=0

相离△<0无交点

相交△>0可利用弦长公式：设A(x1，y1)B(x2，y2)

求中点坐标

根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

带入直线方程可求出y+y/2=可求出中点坐标。

|AB|=d=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1*x2]=√(1+1/k²)[(y1+y2)²-4x1*x2]

椭圆与圆的关系

圆是椭圆的特殊情况：

从参数方程上去理解

椭圆方程：x²/a²+y²/a²=R²

a=b=1的时候，就是圆。

从定义上去理解：

椭圆的焦点重合的时候就是圆。

斜切圆柱所得截面即为椭圆，这在高中数学圆锥曲线一章有阐述，下面就用阴影面积法巧妙求解椭圆面积。圆形面积与椭圆面积之比为cosθ，则cosθ=πR^2/S=2R/2a，椭圆短轴b即为圆柱底面半径R，即R=b，所以S=πR^2*a/R=πaR=πab。

根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。