收敛数列一定有界吗

收敛数列一定是有界的，收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。有界的数列不一定收敛，最简单的例子xn=sin(n)，或者xn=(-1)^n，它们都是有界数列，但n→∞时，xn的极限不存在，所以不收敛。

收敛数列

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|

数列极限定义

设{Xn}为一数列，如果存在一个实数a，对于∀ε>0，∃N∈N+，使得当n＞N时，有|Xn-a|＜ε，那么就称为数列{Xn}收敛于a，实数a称为数列{Xn}的极限，如果实数a不存在，就称数列发散。

有了数列极限的定义，我们很容易得到下面的3个结论

①、收敛数列的极限必定唯一。

②、收敛数列必定有界。

③、设数列{Xn}，{Yn}是两个收敛数列，若{Xn}收敛于a，{Yn}收敛于b，且a＜b，那么∃N∈N+，当n＞N时，就有Xn＜Yn。

关于上面结论很容易证明，下面我们将简单证明一下。

证明①

我们设数列{Xn}有两个极限，分别为a、b，并设a＜b，并取ε＝(b-a)/2，根据数列极限定义我们分别得到∃N∈N+，当n＞N时，有| Xn-a|＜ε＝(b-a)/2。同样也能得到，∃N'∈N+，当n＞N'时，有| Xn-b|＜ε＝(b-a)/2，我们取n＞max{N，N'}时，就得到上面都成立，这样我们就会分别得到Xn＜(b+a)/2与Xn＞(b+a)/2，然而这是不可能的，因此可得a=b。

证明②

设数列{Xn}收敛于a，并取ε=1，那么根据数列极限定义，有∃N∈N+，当n＞N时，就有| Xn-a|＜1，得到a-1＜Xn＜a+1，而对于前面有限项，必有最大项与最小项，因此由上面的讨论知，存在正数M，使得对于任意的n，有|Xn|＜M，因此数列有界。

证明③

取ε＝(b-a)/2，根据数列极限定义我们分别得到∃N'∈N+，当n＞N'时，有| Xn-a|＜ε＝(b-a)/2。同样也能得到，∃N''∈N+，当n＞N''时，有| Yn-b|＜ε＝(b-a)/2，我们取N=max{N'，N''}时，就得到上面都成立，这样我们就得到当n＞N时，就有Xn＜(b+a)/2与Yn＞(b+a)/2，即得证。

由上面的结论③我们还可以推得常用的性质，把上面③的数列{Xn}与{Yn}分别当做常数数列0，例如，把数列{Xn}作为常数项0数列时，我们得到，设{Yn}收敛于b，且0＜b，那么∃N∈N+，当n＞N时，就有Yn＞0。