含有n个元素的集合有几个子集？

含有n个元素的集合共有2^n个子集。如果Set B中所有的元素都是Set A中的元素，那么Set B就被称为Set A的子集(subset)。比如{1, 2, 3}就是{1, 2, 3, 4}的子集。注意两个特殊的情况：空集，也就是不包含任何元素的集合，是任意一个集合的子集；另外，一个集合本身也是它自己的子集，比如{1, 2, 3, 4}就是{1, 2, 3, 4}的子集。

子集

子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

命题1：空集是任意集合的子集

证明：给定任意集合 A，要证明Φ是 A 的子集。这要求给出所有Φ的元素是 A 的元素；但是，Φ没有元素。

对有经验的数学家们来说，推论 "Φ没有元素，所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为Φ没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。

为了证明Φ不是 A 的子集，必须找到一个元素，属于Φ，但不属于 A。 因为Φ没有元素，所以这是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若 A，B，C 是集合，则

自反性: A ⊆ A

反对称性: A ⊆ B 且 B ⊆ A 当且仅当 A = B

传递性: 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C

这个命题说明：对任意集合 S，S 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。