椭圆焦半径公式

椭圆的焦半径公式为 r1=a+ex ， r2=a-ex，其中e是离心率=c/a。

椭圆的焦半径

左：|PF'|=a + ex0

右：|PF| =a - ex0

（x0为椭圆上任意一点P的横坐标）

双曲线的焦半径

左：|PF'|=|ex0 + a|

右：|PF| =|ex0 - a|

（x0为双曲线上任意一点P的横坐标）

圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。圆锥曲线上一点到焦点的距离,不是定值。焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦，过一个焦点的弦通径。过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。

连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

圆锥曲线上一点到焦点的距离,不是定值。

抛物线

抛物线y²=2px (p>0)，C(x₀,y₀)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=x₀+p/2。

扩展

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。 焦点三角形面积公式是S=b²·tan (θ/2)（θ为焦点三角形的顶角）。

椭圆的焦点三角形性质为

（1）|PF1|+|PF2|=2a

（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ

（3）周长=2a+2c

（4）面积=S=b²·tan(θ/2)（∠F1PF2=θ）

证明

设P为椭圆上的任意一点P（不与焦点共线），

∠F2F1P=α ，∠F1F2P=β， ∠F1PF2=θ，

则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，

焦点三角形面积S=b²·tan(θ/2)。

椭圆的常见问题以及解法

椭圆通径长定理，指的是椭圆的通径AB就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段AB。可以由勾股定理推导。椭圆中的通径是通过焦点最短的弦。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，

那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。