已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，且满足||||＋·＝0

题目内容：

已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，且满足||||＋·＝0.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设过点N的直线l的斜率为k，且与曲线C相交于点S、T，若S、T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，求Q点横坐标的取值范围．

最佳答案：

(1)设点P(x，y)，根据题意则有：

＝(4,0)，||＝4，

||＝，＝(x－2，y)，

代入||||＋·＝0

得：4＋4(x－2)＝0.

整理得点P的轨迹C的方程：y²＝－8x.

(2)设S(x₁，y₁)，T(x₂，y₂)，

由题意得：ST的方程为y＝k(x－2)(显然k≠0)

与y²＝－8x联立消元得：ky²＋8y＋16k＝0，

则有：y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝16.

因为直线交轨迹C于两点，

则Δ＝b²－4ac＝64－64k²＞0，

再由y₁＞0，y₂＞0，则－＞0，故－1＜k＜0.

可求得线段ST中点B的坐标为(－＋2，－)，

所以线段ST的垂直平分线方程为

y＋＝－(x＋－2)．

令y＝0得点Q横坐标为x_Q＝－2－，

x_Q＝－2－＜－6.

所以Q点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．

答案解析：

略

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。