（本小题满分14分）已知向量, 向量, 且, 动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程;

题目内容：

（本小题满分14分）

已知向量

, 向量 , 且 , 动点 的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程;

（2）证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 且

(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

最佳答案：

（1）轨迹E的方程为：

。

（2）存在圆心在原点的圆

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B,

且

.

答案解析：

解:（1）因为

, , ,

所以

,所以，轨迹E的方程为： . …………… 4分

(2).设圆心在原点的圆的一条切线为

,解方程组 得 ,即 ,…………………… 6分

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=

,

即

,即 ,且 ,

要使

,需使 ,即 ,

所以

,即 且 ,即

即

，恒成立.…………………… 10分

又因为直线

为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为

, , 所求的圆为 .

当切线的斜率不存在时,切线为

,与 交于点 或 也满足 .

综上, 存在圆心在原点的圆

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B,

且

.

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。