沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三个力f1、

题目内容：

沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三个力f₁、f₂、f₃．试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．

最佳答案：

用a、b、c分别代表棱OA、OB、OC上的三个单位向量，则f₁=a，f₂=2b，f₃=3c，则f=f₁ f₂ f₃=a 2b 3c，

∴|f|²=（a 2b 3c）?（a 2b 3c）

=|a|² 4|b|² 9|c|² 4a?b 6a?c 12b?c

=1 4 9 4|a||b|cos＜a，b＞ 6|a||c|cos＜a，c＞ 12|b||c|cos＜b，c＞

=14 4cos60° 6cos60° 12cos60°

=14 2 3 6=25．

∴|f|=5，即所求合力的大小为5，

且cos＜f，a＞=f?a|f||a|=|a|2 2a?b 3a?c5=1 1 325=710．

同理，可得cos＜f，b＞=45，cos＜f，c＞=910．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。