已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且BP•BA=0，点C满足AC

题目内容：

已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且BP•BA=0，点C满足AC=2BA，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．

（1）求曲线E的方程；

（2）过点Q（1，0）且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D（-1，0），且DM•DN＞0，求k的取值范围．

最佳答案：

（1）设A（a，0）（a＜0），B（0，b），C（x，y）（1分）

则AC=（x-a，y），BA=（a，-b），BP=（3，-b）

∵BP•BA=0，AC=2BA

∴3a b2=0x-a=2ay=-2b（4分）

消去a，b得y²=-4x∵a＜0∴x=3a＜0

故曲线E的方程为y²=-4x（x＜0）（6分）

（2）设直线l方程为y=k（x-1）（7分）

由y=k(x-1)y2=-4x得k²x²-2（k²-2）x k²=0（8分）

∵直线l交曲线E于不同的两点M、N∴△＞0

即△=4（k²-2）²-4k²k²＞0∴k²＜1①（9分）

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则DM=（x₁ 1，y₁） DN=（x₂ 1，y₂）

∴x1 x2=2(k2-2)k2x1x2=1

∴DM•DN=（x₁ 1）（x₂ 1） y₁y₂=8k2-4k2＞0

解得k²＞12②（11分）

由①②联立解得：

12＜k²＜1

∴-1＜k＜-22或22＜k＜1（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。