在平面上，给定非零向量b，对任意向量a，定义a′=a-2(a•b)|b|2b．（1）

题目内容：

在平面上，给定非零向量b，对任意向量a，定义a′=a-2(a•b)|b|2b．

（1）若a=（2，3），b=（-1，3），求a′；

（2）若b=（2，1），证明：若位置向量a的终点在直线Ax By C=0上，则位置向量a′的终点也在一条直线上；

（3）已知存在单位向量b，当位置向量a的终点在抛物线C：x²=y上时，位置向量a′终点总在抛物线C′：y²=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量b满足什么关系？

最佳答案：

（1）∵a=（2，3），b=（-1，3），

∴a•b=7，|b|2=10，可得2(a•b)|b|2b=2×710（-1，3）=（-75，215）

因此a′=a-2(a•b)|b|2b=（2，3）-（-75，215）=（175，-65）；

（2）设a=（x'，y'），终点在直线Ax By C=0上

算出a•b=2x' y'，|b|2=5，2(a•b)|b|2b=2(2x′ y′)5（2，1）=（8x′ 4y′5，4x′ 2y′5），

∴a′=a-2(a•b)|b|2b=（x'，y'）-（8x′ 4y′5，4x′ 2y′5）=（-3x′-4y′5，-4x′ 3y′5）

因此，若a′=（x，y），满足x=-3x′-4y′5y=-4x′ 3y′5，得到x′=-3x-4y5y′=-4x 3y5

∵点（-3x-4y5，-4x 3y5）在直线Ax By C=0上

∴A×-3x-4y5 B×-4x 3y5 C=0，化简得（3A 4B）x （4A-3B）y-5C=0，

由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程

即向量a′的终点也在一条直线上；

（3）∵b是单位向量，

∴设a=（x，y），b=（cosθ，sinθ），可得a•b=xcosθ ysinθ，

所以a′=a-2(a•b)|b|2b=a-2（xcosθ ysinθ）b=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ ycos2θ）

∵a的终点在抛物线x²=y上，且a′终点在抛物线y²=x上，

∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ ycos2θ）²，

化简整理，通过比较系数可得cosθ=22，sinθ=-22或cosθ=-22，sinθ=22

∴b=±（22，22），

∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，

∴l的方向向量d=（1，1）．

可得d•b=0，即d⊥b，因此直线l与向量b垂直．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。