设F1、F2分别是椭圆x24 y2=1的左、右焦点，B（0，-1）．（Ⅰ）若P是该椭

题目内容：

设F₁、F₂分别是椭圆x24 y2=1的左、右焦点，B（0，-1）．

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1•PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且BF1=λCF1，求λ的值；

（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF₁的周长的最大值．

最佳答案：

（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=3，所以，F1(-3，0)，F2(3，0)，

设P（x，y），则 PF1•PF2=(-3-x，-y)•(3-x，-y)=x2 y2-3

=x2 1-x24-3=14(3x2-8)．

因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1•PF2有最小值-2．

当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1•PF2有最大值1．

（Ⅱ）设C（x₀，y₀），B（0，-1），F1(-3，0)，由BF1=λCF1，得 x0=3(1-λ)λ，y0=-1λ，

又x024 y02=1，所以有 λ² 6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）．

（Ⅲ） 因为|PF₁| |PB|=4-|PF₂| |PB|≤4 |BF₂|，∴△PBF₁的周长≤4 |BF₂| |BF₁|≤8．

所以当P点位于直线BF₂与椭圆的交点处时，△PBF₁周长最大，最大值为8．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。