如图，三定点A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）；三动点D，E，M满足AD=

题目内容：

如图，三定点A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）；三动点D，E，M满足AD=tAB，BE=tBC，DM=tDE，t∈[0，1]．

（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围；

（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．

最佳答案：

解法一：如图，（Ⅰ）设D（x₀，y₀），E（x_E，y_E），M（x，y）．

由AD=tAB，BE=tBC，知（x_D-2，y_D-1）=t（-2，-2）．

∴xD=-2t 2yD=-2t 1同理xE=-2tyE=2t-1．

∴k_DE=yE-yDxE-xD=2t-1-(-2t 1)-2t-(-2t 2)=1-2t．

∵t∈[0，1]，∴k_DE∈[-1，1]．

（Ⅱ）∵DM=tDE

∴（x 2t-2，y 2t-1）=t（-2t 2t-2，2t-1 2t-1）=t（-2，4t-2）=（-2t，4t²-2t）．

∴x=2(1-2t)y=(1-2t)2，

∴y=x24，即x²=4y．

∵t∈[0，1]，x=2（1-2t）∈[-2，2]．

即所求轨迹方程为：x²=4y，x∈[-2，2]

解法二：（Ⅰ）同上．

（Ⅱ）如图，OD=OA AD=OA tAB=OA t（OB-OA）=（1-t）OA tOB，

OE=OB BE=OB tBC=OB t（OC-OB）=（1-t）OB tOC，

OM=OD DM=OD tDE=OD t（OE-OD）=（1-t）OD tOE

=（1-t²）OA 2（1-t）tOB t²OC．

设M点的坐标为（x，y），由OA=（2，1），OB=（0，-1），OC=（-2，1）得

x=(1-t2)•2 2(1-t)t•0 t2•(-2)=2(1-2t)y=(1-t)2•1 2(1-t)t•(-1) t2•1=(1-2t)2

消去t得x²=4y，

∵t∈[0，1]，x∈[-2，2]．

故所求轨迹方程为：x²=4y，x∈[-2，2]

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。