如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6，|FG|=10，且2EH=EG，HP

题目内容：

如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6，|FG|=10，且2EH=EG，HP•GE=0（G为动点，P是HP和GF的交点）．

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与直线EF相交于一点C，证明|OC|＜95（O为EF的中点）．

最佳答案：

（Ⅰ）以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．

由题设2EH=EG，HP•EG=0，

∴|PG|=|PE|，而|PF| |PE|=|PG|=2a．

∴点P是以E、F为焦点、长轴长为10的椭圆．

故点P的轨迹方程是x225 y216=1．…（4分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．

∴x₁≠x₂，且|CA|=|CB|，即（x₁-x₀）² y₁²=（x₂-x₀）² y₂²．

又A、B在轨迹上，∴x1225 y1216=1，x2225 y2216=1．

即y12=16-1625x12，y22=16-1625x22．

代入整理，得2(x2-x1)•x0=925(x22-x12)．

∵x₁≠x₂，∴x0=9(x1 x2)50．

∵-5≤x₁≤5，-5≤x₂≤5，∴-10≤x₁ x₂≤10．

∵x₁≠x₂，∴-10＜x₁ x₂＜10．

∴-95＜x0＜95，即|OC|＜95．…（13分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。